Archimedes: Der antike griechische Pionier der Analysis

Fast zweitausend Jahre bevor Isaac Newton und Gottfried Leibniz die Infinitesimalrechnung formalisierten, arbeitete ein griechischer Mathematiker in Syrakus bereits mit Verfahren, die der Integration und dem Grenzwertbegriff verblüffend nahekamen. Archimedes von Syrakus (ca. 287 bis 212 v. Chr.) entwickelte die Exhaustionsmethode, um Flächen und Volumina gekrümmter Figuren mit außerordentlicher Genauigkeit zu bestimmen, und nahm damit Ideen vorweg, die erst im 17. Jahrhundert voll ausgearbeitet werden sollten. Sein Werk zählt zu den beeindruckendsten geistigen Leistungen der Mathematikgeschichte.

Archimedes‘ analysisnahe Verfahren erlaubten ihm, die Fläche unter einer Parabel, den Oberflächeninhalt und das Volumen einer Kugel sowie die Volumina verschiedener Rotationskörper zu berechnen. All das gelang ihm ohne algebraische Schreibweise, ohne Koordinatensysteme und ohne den Begriff des Grenzwerts, allein mit rein geometrischem Denken von atemberaubendem Erfindungsreichtum.

Archimedes: Der Mensch und seine Welt

Archimedes lebte im dritten vorchristlichen Jahrhundert in Syrakus, einer griechischen Kolonie auf der Insel Sizilien. Er wurde um 287 v. Chr. geboren, möglicherweise als Sohn eines Astronomen namens Phidias. Antike Quellen legen nahe, dass er in Alexandria in Ägypten studierte, der intellektuellen Hauptstadt der hellenistischen Welt, wo er mit den mathematischen Traditionen der Schule Euklids in Berührung gekommen sein könnte.

Ein legendärer Problemlöser

Antike Schriftsteller schilderten Archimedes als völlig ins mathematische Denken versunken. Plutarch berichtet, dass er sich derart in geometrische Probleme vertiefte, dass Diener ihn zum Bad schleppen und ihn mit Gewalt mit Öl einreiben mussten. Die berühmte Geschichte, wie Archimedes aus seinem Bad sprang und „Heureka!“ rief, nachdem er entdeckt hatte, wie sich das Volumen unregelmäßiger Körper über die Wasserverdrängung messen lässt, bringt seine sprichwörtliche Hingabe an das Lösen von Problemen auf den Punkt.

Kriegsmaschinen und praktische Ingenieurskunst

Während der römischen Belagerung von Syrakus (214 bis 212 v. Chr.) soll Archimedes Kriegsmaschinen entworfen haben, die die römische Flotte zwei Jahre lang in Schach hielten. Dazu zählten Katapulte, Kräne, die Schiffe anheben und kentern lassen konnten, und möglicherweise Brennspiegel, die Schiffe in Brand setzten (auch wenn dieser letzte Punkt umstritten ist). Trotz seines ingenieurtechnischen Genies hielt Archimedes selbst mechanische Erfindungen angeblich für unter der Würde der reinen Mathematik.

Die Exhaustionsmethode

Die Exhaustionsmethode war Archimedes‘ wichtigstes Werkzeug zur Berechnung von Flächen und Volumina gekrümmter Figuren. Die Grundidee ist elegant: Man nähert eine gekrümmte Figur durch eine Folge einfacherer Figuren (meist Vielecke) an, die den gekrümmten Bereich schrittweise immer weiter ausfüllen. Je größer die Zahl der einfacheren Figuren, desto besser die Näherung. Lässt sich der Fehler kleiner machen als jede beliebig vorgegebene Größe, so folgt daraus das exakte Ergebnis.

Wie sie funktioniert

Nehmen wir die Berechnung des Kreisflächeninhalts. Archimedes beschrieb dem Kreis regelmäßige Vielecke ein und umschrieb ihn mit regelmäßigen Vielecken:

• Ein Sechseck im Innern des Kreises liefert eine grobe untere Schranke für die Fläche
• Ein Sechseck außerhalb liefert eine obere Schranke
• Die Verdopplung auf zwölf Seiten verengt beide Schranken
• Eine weitere Verdopplung auf 24, 48 und 96 Seiten liefert immer genauere Schätzungen

Mit 96-seitigen Vielecken bewies Archimedes, dass π zwischen 3 10/71 und 3 1/7 liegt (ungefähr 3,1408 bis 3,1429), eine beeindruckende Näherung, die über Jahrhunderte die beste verfügbare blieb.

Der Bezug zur modernen Analysis

Die Exhaustionsmethode ist im Grunde eine geometrische Fassung jenes Grenzprozesses, der der Integralrechnung zugrunde liegt. Wo ein moderner Mathematiker ein Integral als Grenzwert von Riemann-Summen schreibt (Summen dünner Rechtecke, die die Fläche unter einer Kurve annähern), fing Archimedes den wahren Wert mit ein- und umbeschriebenen Vielecken zwischen immer engeren Schranken ein.

Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass Archimedes jedes Ergebnis einzeln bewies, und zwar durch ein Argument der reductio ad absurdum (Beweis durch Widerspruch), statt eine allgemeine Theorie der Grenzwerte zu entwickeln. Er zeigte, dass sich ein Widerspruch ergäbe, wenn die Fläche größer oder kleiner als der von ihm behauptete Wert wäre. Das machte jeden Beweis streng, verlangte aber auch für jedes neue Problem ein frisches, oft geniales Argument.

Die Quadratur der Parabel

Zu Archimedes‘ berühmtesten Ergebnissen gehört seine Bestimmung der Fläche unter einem Parabelsegment. Er bewies, dass die von einer Parabel und einer Sehne eingeschlossene Fläche 4/3 der Fläche des einbeschriebenen Dreiecks mit gleicher Grundlinie und Höhe beträgt.

Das geometrische Argument

Archimedes füllte das Parabelsegment mit immer kleineren Dreiecken aus. Nach dem ersten einbeschriebenen Dreieck fügte er Dreiecke in den beiden verbleibenden Segmenten hinzu, dann kleinere Dreiecke in den vier neuen Segmenten und so fort. Jeder Schritt fügt Dreiecke hinzu, deren Gesamtfläche genau 1/4 der Dreiecke des vorherigen Schritts beträgt.

Die Gesamtfläche ist daher die geometrische Reihe: 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 4/3 (mal der Fläche des Ausgangsdreiecks). Archimedes summierte diese unendliche geometrische Reihe korrekt, zwei Jahrtausende bevor die formale Theorie der unendlichen Reihen entwickelt wurde.

Kugel und Zylinder

Archimedes betrachtete seinen Beweis, dass das Volumen einer Kugel 2/3 des Volumens des umbeschriebenen Zylinders beträgt, als seine größte Leistung. Er bat darum, eine in einen Zylinder einbeschriebene Kugel auf seinem Grabstein einzumeißeln, und der römische Feldherr Cicero berichtete, das Grab Jahrhunderte später gefunden zu haben, was die Geschichte bestätigt.

Der Oberflächeninhalt einer Kugel

Archimedes bewies außerdem, dass der Oberflächeninhalt einer Kugel dem Vierfachen der Fläche ihres Großkreises entspricht (in moderner Schreibweise 4πr²). Dieses Ergebnis, gewonnen durch Anwendung der Exhaustionsmethode auf Kugelzonen, entspricht einem Oberflächenintegral der modernen Analysis.

Rotationsvolumina

In seiner Abhandlung Über Konoide und Sphäroide berechnete Archimedes Volumina, die durch die Drehung von Kegelschnitten um eine Achse entstehen. Genau das sind jene „Rotationskörper“, die Studierende der Analysis heute mithilfe der Integration untersuchen. Archimedes erzielte exakte Ergebnisse für Paraboloide, Hyperboloide und Ellipsoide durch geometrische Argumente, die moderne Mathematiker als gleichwertig mit der Integration erkennen.

Die mechanische Methode

1906 entdeckte der dänische Gelehrte Johan Ludvig Heiberg ein Palimpsest (eine Handschrift, die abgeschabt und überschrieben worden war) mit einem zuvor unbekannten Werk des Archimedes: Die Methode der mechanischen Theoreme. Dieser Text enthüllte Archimedes‘ geheime Entdeckungstechnik.

Das Abwägen von Infinitesimalen

In Die Methode beschreibt Archimedes, wie er seine Ergebnisse entdeckte (im Unterschied zu bewies). Er stellte sich vor, geometrische Figuren in unendlich dünne Scheiben zu zerlegen und sie auf einem Hebel auszubalancieren, wobei er das Hebelgesetz nutzte, um Beziehungen zwischen Flächen und Volumina abzuleiten.

Diese Technik kommt der Integralrechnung erstaunlich nahe. Archimedes zerlegte die Figuren im Grunde in infinitesimale Elemente und summierte ihre Beiträge, genau das, was die Integration leistet. Er hielt diese Methode nicht für streng genug für einen formalen Beweis (daher verwendete er für seine veröffentlichten Ergebnisse die Exhaustionsmethode), doch als heuristisches Entdeckungswerkzeug nimmt sie die Analysis um fast zwei Jahrtausende vorweg.

Das Archimedes-Palimpsest

Das Archimedes-Palimpsest ist eine der bedeutendsten mathematischen Handschriften, die je entdeckt wurden. Im zehnten Jahrhundert geschrieben, im dreizehnten mit religiösem Text überschrieben und im zwanzigsten wiederentdeckt, zeigt es, dass Archimedes‘ mathematische Methoden noch ausgefeilter waren als bis dahin bekannt. Moderne Bildgebungsverfahren fördern bis heute zuvor unlesbaren Text aus diesem bemerkenswerten Dokument zutage.

Die Sandzahl und große Zahlen

Archimedes‘ mathematischer Ehrgeiz reichte über die Geometrie hinaus. In Die Sandzahl entwickelte er ein System zur Darstellung enorm großer Zahlen und schätzte ab, wie viele Sandkörner das Universum füllen würden. Diese Arbeit zwang ihn dazu, etwas zu erfinden, das einer Exponentialschreibweise gleichkommt, und zeigt seine Fähigkeit, in Größenordnungen weit jenseits der Alltagserfahrung zu denken.

Diese Schrift enthält zudem den frühesten erhaltenen Hinweis auf das heliozentrische Modell des Sonnensystems von Aristarch und ist damit nicht nur für die Mathematik, sondern auch für die Geschichte der Astronomie bedeutsam.

Archimedes und die Tradition der strengen Mathematik

Archimedes arbeitete innerhalb der mathematischen Tradition, die Euklids Elemente (englische Ausgabe) begründet hatten, welche die Geometrie durch Axiome und strenge Deduktion systematisierten. Während Euklid vorhandenes Wissen in einen logischen Rahmen brachte, ging Archimedes weit darüber hinaus und nutzte euklidische Methoden, um Probleme zu lösen, die wirklich neue mathematische Ideen verlangten.

Das Verhältnis zwischen Euklid und Archimedes gleicht dem Verhältnis zwischen Fundament und Grenzland in der Mathematik. Euklid lieferte die logische Infrastruktur; Archimedes nutzte diese Infrastruktur, um unerforschtes Terrain zu erkunden. Wer Euklids axiomatischen Ansatz versteht, weiß die logische Strenge besser zu schätzen, die Archimedes in seine bahnbrechenden Berechnungen einbrachte.

Von Archimedes zu Newton

Als Isaac Newton und Gottfried Leibniz im späten 17. Jahrhundert die Infinitesimalrechnung entwickelten, vollendeten sie in gewissem Sinne ein Vorhaben, das Archimedes begonnen hatte. Newton erkannte Archimedes‘ Einfluss ausdrücklich an, und viele von Newtons frühen Ergebnissen zu Flächen unter Kurven erinnern an Archimedes‘ Arbeiten über Parabeln und Spiralen.

Newtons Principia verwendet geometrische Methoden, die Archimedes vertraut gewesen wären, auch wenn sie das infinitesimale Denken einführen, das Archimedes informell genutzt, aber nie kodifiziert hatte. Die Entwicklung der Mathematik von Archimedes bis Newton bildet einen der längsten und fruchtbarsten Gedankenstränge der Menschheitsgeschichte.

Newtons College-Notizbuch enthält seine frühen Erkundungen der unendlichen Reihen und des binomischen Lehrsatzes, Techniken, die genau jene unendlichen Prozesse formalisierten, die Archimedes geometrisch vorangetrieben hatte. Newtons handschriftliche Ausarbeitung dieser Ideen zu sehen, verbindet den heutigen Leser mit derselben mathematischen Schöpferkraft, die Archimedes zwei Jahrtausende zuvor an den Tag legte.

Vermächtnis und Einfluss

Archimedes gilt weithin als der größte Mathematiker der Antike und als einer der größten aller Zeiten. Zu seinen Beiträgen zählen:

• Grundlagen der Analysis: Die Exhaustionsmethode und die mechanische Methode nahmen die Integration vorweg
• Näherung von π: Seine Schranken für π blieben über Jahrhunderte auf dem neuesten Stand
• Hydrostatik: Das Prinzip des Auftriebs (das archimedische Prinzip) begründete diesen Zweig der Physik
• Statik: Das Hebelgesetz und Berechnungen des Schwerpunkts
• Ingenieurwesen: Die archimedische Schraube und die Kriegsmaschinen
• Große Zahlen: Systeme zur Darstellung und Handhabung extrem großer Mengen

Sein Tod bei der Eroberung von Syrakus durch die Römer im Jahr 212 v. Chr., bei dem er einem Bericht zufolge von einem Soldaten getötet wurde, während er in ein geometrisches Diagramm vertieft war, ist zu einer der berühmtesten Anekdoten der Wissenschaftsgeschichte geworden. „Störe meine Kreise nicht“, soll er dem Soldaten gesagt haben und wählte damit die Mathematik über die eigene Rettung.

Der zeitlose Mathematiker

Archimedes‘ mathematische Leistungen zeigen, dass Genie die verfügbaren Werkzeuge übersteigt. Ohne Algebra, ohne Koordinaten, ohne formale Grenzwerttheorie erzielte er Ergebnisse, die Studierende der Analysis heute mit mächtigem symbolischem Rüstzeug herleiten. Seine geometrische Anschauung und logische Strenge brachten exakte Lösungen für Probleme hervor, die fast zweitausend Jahre lang nicht systematisch angehbar sein würden.

Sein Werk erinnert uns daran, dass mathematischer Fortschritt nicht immer linear verläuft. Ideen können auftauchen, sich als zu weit fortgeschritten für ihre Zeit erweisen und Jahrhunderte auf ihre Wiederentdeckung warten. Die Exhaustionsmethode nahm die Grenzwerte vorweg; die mechanische Methode nahm die Integration vorweg; die Summation geometrischer Reihen nahm die Theorie der unendlichen Reihen vorweg. Archimedes betrieb, in einem sehr realen Sinn, Analysis, bevor die Analysis existierte, und tat dies mit außerordentlichem Geschick und außerordentlicher Einsicht.