Archimède, pionnier du calcul

Près de deux mille ans avant qu’Isaac Newton et Gottfried Leibniz ne formalisent le calcul infinitésimal, un mathématicien grec de Syracuse employait déjà des techniques remarquablement proches de l’intégration et des limites. Archimède de Syracuse (vers 287 à 212 av. J.-C.) mit au point la méthode d’exhaustion pour calculer les aires et les volumes de figures courbes avec une précision extraordinaire, anticipant des idées qui ne seraient pleinement développées qu’au XVIIe siècle. Son œuvre constitue l’une des réussites intellectuelles les plus impressionnantes de l’histoire des mathématiques.

Les méthodes d’Archimède proches du calcul infinitésimal lui permirent de déterminer l’aire sous une parabole, l’aire et le volume d’une sphère, ainsi que les volumes de divers solides de révolution. Il accomplit tout cela sans notation algébrique, sans système de coordonnées et sans la notion de limite, en s’appuyant uniquement sur un raisonnement purement géométrique d’une ingéniosité à couper le souffle.

Archimède : l’homme et son monde

Archimède vécut à Syracuse, colonie grecque de l’île de Sicile, au IIIe siècle avant notre ère. Il naquit vers 287 av. J.-C., peut-être fils d’un astronome nommé Phidias. Les sources antiques laissent entendre qu’il étudia à Alexandrie, en Égypte, capitale intellectuelle du monde hellénistique, où il put découvrir les traditions mathématiques de l’école d’Euclide.

Un résolveur de problèmes légendaire

Les auteurs antiques dépeignaient Archimède comme entièrement absorbé par la pensée mathématique. Plutarque raconte qu’il se plongeait si profondément dans les problèmes de géométrie que ses serviteurs devaient le traîner jusqu’au bain et l’oindre d’huile de force. La célèbre anecdote d’Archimède bondissant hors de son bain en criant « Eurêka ! » après avoir découvert comment mesurer le volume des objets irréguliers par déplacement d’eau résume sa dévotion légendaire à la résolution des problèmes.

Machines de guerre et génie pratique

Pendant le siège romain de Syracuse (214 à 212 av. J.-C.), Archimède aurait conçu des machines de guerre qui tinrent la flotte romaine en échec pendant deux ans. On y comptait des catapultes, des grues capables de soulever et de renverser les navires, et peut-être des miroirs ardents qui incendiaient les vaisseaux (même si cette dernière affirmation est contestée). Malgré son génie d’ingénieur, Archimède lui-même jugeait, dit-on, les inventions mécaniques indignes de la dignité des mathématiques pures.

La méthode d’exhaustion

La méthode d’exhaustion était le principal outil d’Archimède pour calculer les aires et les volumes des figures courbes. L’idée de base est élégante : on approche une figure courbe par une suite de figures plus simples (le plus souvent des polygones) qui remplissent progressivement une part croissante de la forme courbe. À mesure que le nombre de figures simples augmente, l’approximation s’améliore. Si l’on peut rendre l’erreur plus petite que toute quantité donnée, le résultat exact s’ensuit.

Comment elle fonctionne

Prenons le calcul de l’aire d’un cercle. Archimède inscrivait des polygones réguliers dans le cercle et en circonscrivait d’autres à l’extérieur :

Un hexagone à l’intérieur du cercle donne une borne inférieure grossière de l’aire
Un hexagone à l’extérieur en donne une borne supérieure
Le passage à douze côtés resserre les deux bornes
Un nouveau doublement à 24, 48 puis 96 côtés produit des estimations de plus en plus précises

À l’aide de polygones à 96 côtés, Archimède démontra que π est compris entre 3 10/71 et 3 1/7 (environ 3,1408 et 3,1429), une approximation remarquable qui resta la meilleure disponible pendant des siècles.

Le lien avec le calcul infinitésimal moderne

La méthode d’exhaustion est essentiellement une version géométrique du passage à la limite qui sous-tend le calcul intégral. Là où un mathématicien moderne écrit une intégrale comme la limite de sommes de Riemann (des sommes de fins rectangles approchant l’aire sous une courbe), Archimède utilisait des polygones inscrits et circonscrits pour encadrer la vraie valeur entre des bornes de plus en plus serrées.

La différence essentielle tient à ce qu’Archimède démontrait chaque résultat séparément par un raisonnement de reductio ad absurdum (démonstration par l’absurde), au lieu d’élaborer une théorie générale des limites. Il montrait que, si l’aire était plus grande ou plus petite que la valeur qu’il avançait, une contradiction surgirait. Cela rendait chaque démonstration rigoureuse, mais obligeait aussi à trouver, pour chaque nouveau problème, un argument neuf et souvent ingénieux.

La quadrature de la parabole

Parmi les résultats les plus célèbres d’Archimède figure sa détermination de l’aire sous un segment de parabole. Il démontra que l’aire délimitée par une parabole et une corde vaut 4/3 de l’aire du triangle inscrit ayant même base et même hauteur.

L’argument géométrique

Archimède remplissait le segment de parabole de triangles de plus en plus petits. Après le premier triangle inscrit, il ajoutait des triangles dans les deux segments restants, puis des triangles plus petits dans les quatre nouveaux segments, et ainsi de suite. Chaque étape ajoute des triangles dont l’aire totale vaut exactement 1/4 de celle des triangles de l’étape précédente.

L’aire totale est donc la série géométrique : 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 4/3 (multiplié par l’aire du triangle initial). Archimède somma correctement cette série géométrique infinie, deux millénaires avant l’élaboration de la théorie formelle des séries infinies.

La sphère et le cylindre

Archimède tenait sa démonstration selon laquelle le volume d’une sphère vaut 2/3 du volume du cylindre circonscrit pour sa plus grande réussite. Il demanda qu’une sphère inscrite dans un cylindre fût gravée sur sa pierre tombale, et le général romain Cicéron rapporta avoir retrouvé ce tombeau des siècles plus tard, confirmant l’anecdote.

L’aire d’une sphère

Archimède démontra également que l’aire d’une sphère vaut quatre fois l’aire de son grand cercle (4πr² en notation moderne). Ce résultat, obtenu en appliquant la méthode d’exhaustion aux zones de la sphère, correspond à une intégrale de surface du calcul moderne.

Les volumes de révolution

Dans son traité Des conoïdes et des sphéroïdes, Archimède calcula des volumes engendrés par la rotation de sections coniques autour d’un axe. Ce sont précisément les « solides de révolution » que les étudiants en calcul infinitésimal étudient aujourd’hui à l’aide de l’intégration. Archimède obtint des résultats exacts pour les paraboloïdes, les hyperboloïdes et les ellipsoïdes au moyen d’arguments géométriques que les mathématiciens modernes reconnaissent comme équivalents à l’intégration.

La méthode mécanique

En 1906, l’érudit danois Johan Ludvig Heiberg découvrit un palimpseste (un manuscrit qui avait été gratté puis réécrit) contenant une œuvre jusque-là inconnue d’Archimède : La Méthode relative aux théorèmes mécaniques. Ce texte révéla la technique de découverte secrète d’Archimède.

L’équilibre des infinitésimaux

Dans La Méthode, Archimède décrit comment il découvrait ses résultats (par opposition à les démontrer). Il imaginait de découper les figures géométriques en tranches infiniment minces et de les équilibrer sur un levier, en se servant de la loi du levier pour déduire des relations entre aires et volumes.

Cette technique est étonnamment proche du calcul intégral. Archimède décomposait au fond les figures en éléments infinitésimaux et additionnait leurs contributions, exactement ce que fait l’intégration. Il ne jugeait pas cette méthode assez rigoureuse pour une démonstration formelle (d’où le recours à la méthode d’exhaustion pour ses résultats publiés), mais, comme outil heuristique de découverte, elle anticipe le calcul infinitésimal de près de deux millénaires.

Le palimpseste d’Archimède

Le palimpseste d’Archimède est l’un des manuscrits mathématiques les plus importants jamais découverts. Rédigé au Xe siècle, recouvert d’un texte religieux au XIIIe et redécouvert au XXe, il révèle que les méthodes mathématiques d’Archimède étaient encore plus élaborées qu’on ne le savait. Les techniques d’imagerie modernes continuent de faire apparaître un texte jusque-là illisible dans ce document remarquable.

L’Arénaire et les grands nombres

L’ambition mathématique d’Archimède dépassait la géométrie. Dans L’Arénaire, il élabora un système pour exprimer des nombres extraordinairement grands, en estimant combien de grains de sable rempliraient l’univers. Ce travail l’obligea à inventer l’équivalent d’une notation exponentielle, ce qui témoigne de sa capacité à penser à des échelles bien au-delà de l’expérience quotidienne.

Cet ouvrage contient également la plus ancienne référence conservée au modèle héliocentrique du système solaire d’Aristarque, ce qui le rend important pour l’histoire de l’astronomie autant que pour celle des mathématiques.

Archimède et la tradition de la rigueur mathématique

Archimède travaillait au sein de la tradition mathématique fondée par les Éléments d’Euclide (édition anglaise), qui systématisaient la géométrie au moyen d’axiomes et d’une déduction rigoureuse. Tandis qu’Euclide organisait le savoir existant en un cadre logique, Archimède alla bien plus loin, employant les méthodes euclidiennes pour résoudre des problèmes qui exigeaient des idées mathématiques véritablement nouvelles.

La relation entre Euclide et Archimède est à l’image de celle qui unit les fondements et les frontières en mathématiques. Euclide fournit l’infrastructure logique ; Archimède se servit de cette infrastructure pour explorer un territoire inconnu. Comprendre l’approche axiomatique d’Euclide aide à mesurer la rigueur logique qu’Archimède apporta à ses calculs révolutionnaires.

D’Archimède à Newton

Lorsque Isaac Newton et Gottfried Leibniz mirent au point le calcul infinitésimal à la fin du XVIIe siècle, ils achevaient, en un sens, un projet qu’Archimède avait entamé. Newton reconnut explicitement l’influence d’Archimède, et nombre de ses premiers résultats sur les aires sous les courbes font écho aux travaux d’Archimède sur les paraboles et les spirales.

Les Principia de Newton recourent à des méthodes géométriques qu’Archimède aurait reconnues, tout en introduisant le raisonnement infinitésimal qu’Archimède avait employé de manière informelle sans jamais le codifier. Le développement des mathématiques d’Archimède à Newton représente l’un des fils intellectuels les plus longs et les plus féconds de l’histoire humaine.

Le carnet d’étudiant de Newton renferme ses premières explorations des séries infinies et du théorème du binôme, des techniques qui formalisèrent le genre de processus infinis qu’Archimède avait ouverts par la géométrie. Voir Newton élaborer ces idées de sa main relie le lecteur d’aujourd’hui à la même créativité mathématique dont Archimède fit preuve deux millénaires plus tôt.

Héritage et influence

Archimède est largement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité et l’un des plus grands de tous les temps. Parmi ses contributions :

Fondements du calcul infinitésimal : la méthode d’exhaustion et la méthode mécanique ont anticipé l’intégration
Approximation de π : ses bornes sur π restèrent à la pointe pendant des siècles
Hydrostatique : le principe de la poussée (le principe d’Archimède) a fondé cette branche de la physique
Statique : la loi du levier et le calcul des centres de gravité
Ingénierie : la vis d’Archimède et les machines de guerre
Grands nombres : des systèmes pour exprimer et manipuler des quantités extrêmement grandes

Sa mort lors de la prise de Syracuse par les Romains en 212 av. J.-C., tué selon la tradition par un soldat alors qu’il était absorbé dans un diagramme géométrique, est devenue l’une des anecdotes les plus célèbres de l’histoire des sciences. « Ne dérange pas mes cercles », aurait-il dit au soldat, préférant les mathématiques à sa propre survie.

Le mathématicien intemporel

Les réalisations mathématiques d’Archimède montrent que le génie transcende les outils disponibles. Sans algèbre, sans coordonnées, sans théorie formelle des limites, il obtint des résultats que les étudiants en calcul infinitésimal dérivent aujourd’hui à l’aide d’un puissant appareil symbolique. Son intuition géométrique et sa rigueur logique produisirent des solutions exactes à des problèmes qui resteraient inaccessibles de manière systématique pendant près de deux mille ans.

Son œuvre nous rappelle que le progrès mathématique n’est pas toujours linéaire. Des idées peuvent surgir, se révéler trop avancées pour leur époque et attendre des siècles avant d’être redécouvertes. La méthode d’exhaustion a anticipé les limites ; la méthode mécanique a anticipé l’intégration ; la sommation des séries géométriques a anticipé la théorie des séries infinies. Archimède faisait, en un sens très concret, du calcul infinitésimal avant que celui-ci n’existe, et il le faisait avec une habileté et une perspicacité extraordinaires.