David Hilbert: Der Mathematiker, der die Geometrie aus Axiomen neu aufbaute

Im Jahr 1899 veröffentlichte ein deutscher Mathematiker ein schmales Buch, das unser Denken über die Geometrie und letztlich über die gesamte Mathematik von Grund auf veränderte. David Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ baute die euklidische Geometrie vollständig neu auf, deckte Lücken in den antiken Axiomen auf und setzte einen neuen Maßstab für mathematische Strenge. Wie Euklid vor ihm zeigte Hilbert, dass komplexe Wahrheiten aus einfachen, klar formulierten Annahmen abgeleitet werden können. Anders als Euklid tat er dies mit einer Präzision, die die Mathematik des 20. Jahrhunderts prägen sollte.

Hilberts Einfluss reichte weit über die Geometrie hinaus. Seine berühmten 23 Probleme, die er im Jahr 1900 vorstellte, bestimmten die mathematische Forschung für ein ganzes Jahrhundert. Sein Programm, für die gesamte Mathematik sichere Grundlagen zu schaffen, blieb zwar letztlich erfolglos, klärte aber, was Mathematik ist und was sie zu leisten vermag. Unter den Mathematikern des 20. Jahrhunderts erreichen nur wenige seine Breite, seine Tiefe und seine bleibende Wirkung.

Die Mathematik in der Krise

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts geriet die Mathematik in eine Grundlagenkrise. Die Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien hatte gezeigt, dass sich das euklidische Parallelenpostulat ohne Widerspruch verneinen ließ, was die Frage aufwarf, was geometrische Axiome eigentlich bedeuten. Die von Georg Cantor entwickelte Mengenlehre brachte Paradoxien hervor, die die Logik selbst zu bedrohen schienen. Die Mathematiker konnten ihre Grundlagen nicht länger als selbstverständlich hinnehmen.

Euklids Elemente, über zwei Jahrtausende lang der Maßstab mathematischer Strenge, erwiesen sich als voller versteckter Annahmen. Euklid verwendete anschauliche geometrische Vorstellungen, ohne sie ausdrücklich als Axiome zu benennen. Für die praktische Geometrie waren diese Lücken bedeutungslos gewesen, doch sie wurden entscheidend, sobald Mathematiker verstehen wollten, was Geometrie wirklich ist.

Die klassische Darstellung von Euklids Elementen (englische Ausgabe) zeigt sowohl die Eleganz der antiken Geometrie als auch die Stellen, an denen moderne Mathematiker Raum für Verbesserungen fanden.

Hilberts neue Grundlagen

David Hilbert wurde 1862 in Königsberg in Preußen geboren, der Stadt Immanuel Kants (heute Kaliningrad, Russland). Er studierte Mathematik an der dortigen Universität, bevor er nach Göttingen wechselte, das nicht zuletzt durch seine Anwesenheit zum weltweit führenden Zentrum der Mathematik wurde. Bereits Ende dreißig hatte Hilbert bedeutende Beiträge zur Algebra und zur Zahlentheorie geleistet.

Seine „Grundlagen der Geometrie“ verfolgten einen radikalen Ansatz. Statt Punkte, Geraden und Ebenen über ihre anschauliche Bedeutung zu definieren, behandelte Hilbert sie als undefinierte Begriffe, deren Eigenschaften allein durch Axiome festgelegt sind. Ein Punkt war schlicht alles, was die Axiome für Punkte erfüllt; eine Gerade alles, was die Axiome für Geraden erfüllt. Die Bedeutung ergab sich aus den formalen Beziehungen, nicht aus der geometrischen Anschauung.

Die axiomatische Methode

Hilbert ordnete seine Axiome in fünf Gruppen:

• Axiome der Verknüpfung: legen fest, wann Punkte auf Geraden und Ebenen liegen
• Axiome der Anordnung: legen die Beziehung des „Zwischen“ für Punkte auf einer Geraden fest
• Axiome der Kongruenz: legen fest, wann Strecken und Winkel gleich sind
• Parallelenaxiom: das berühmte Parallelenpostulat
• Axiome der Stetigkeit: stellen sicher, dass Geraden keine Lücken aufweisen

Diese Gliederung machte eine Struktur sichtbar, die Euklid nur stillschweigend vorausgesetzt hatte. So formulierte Euklid etwa nie ausdrücklich Anordnungsaxiome, und dennoch setzten seine Beweise voraus, dass Punkte auf einer Geraden eine bestimmte Reihenfolge besitzen. Hilbert machte jede Annahme explizit und beseitigte damit alle verdeckten Rückgriffe auf die Anschauung.

Unabhängigkeitsbeweise

Entscheidend war, dass Hilbert die Unabhängigkeit seiner Axiome nachwies: Jedes Axiom ließ sich verneinen, ohne die übrigen zu verletzen. Er zeigte dies, indem er Modelle konstruierte, in denen alle Axiome bis auf eines gültig waren. Diese heute in der Mathematik übliche Technik bewies, dass die Axiome genau die beabsichtigten Eigenschaften erfassten, und zwar ohne jede Redundanz.

Die Unabhängigkeit des Parallelenpostulats, aus der nichteuklidischen Geometrie bereits bekannt, war nur ein Einzelfall einer allgemeinen Methodik. Hilbert zeigte, dass sich mathematische Strukturen so präzise festlegen lassen, dass genau bestimmt ist, was aus ihnen folgt und was nicht.

Die 23 Probleme

Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris hielt Hilbert einen Vortrag, der die mathematische Forschung für das kommende Jahrhundert leiten sollte. Er stellte 23 Probleme, die von der Zahlentheorie über die Algebra, die Geometrie und die Analysis bis zur Physik reichten. Diese Hilbertschen Probleme verbanden tiefe mathematische Bedeutung mit dem Optimismus, dass Lösungen erreichbar seien.

Manche Probleme wurden verhältnismäßig rasch gelöst, andere brauchten Jahrzehnte, einige sind bis heute offen. Die Probleme bestimmten mit, welche Gebiete Beachtung fanden und welche Mathematiker Anerkennung gewannen. Die Lösung eines Hilbertschen Problems wurde zum Zeichen mathematischer Auszeichnung.

Bemerkenswerte Probleme

Das erste Problem betraf Cantors Kontinuumshypothese: Gibt es eine Menge, die größer als die ganzen Zahlen und zugleich kleiner als die reellen Zahlen ist? Kurt Gödel und Paul Cohen zeigten schließlich, dass diese Frage von der üblichen Mengenlehre unabhängig ist, ein tiefgreifendes Ergebnis über die Grenzen der Mathematik.

Das achte Problem, die Riemannsche Vermutung, ist bis heute ungelöst und gilt als vielleicht wichtigstes offenes Problem der Mathematik. Es betrifft die Verteilung der Primzahlen und hängt mit tiefen Fragen quer durch die gesamte Mathematik zusammen.

Das zehnte Problem fragte nach einem Algorithmus, der entscheidet, ob Polynomgleichungen ganzzahlige Lösungen besitzen. Juri Matijassewitsch bewies 1970, dass es keinen solchen Algorithmus gibt, und verband damit Hilberts Problem mit der Berechenbarkeitstheorie und Alan Turings Arbeiten über die Grenzen der Berechnung.

Das Hilbertprogramm

In den 1920er Jahren schlug Hilbert ein ehrgeiziges Programm vor, um die Mathematik auf absolut sichere Grundlagen zu stellen. Er wollte beweisen, dass die Mathematik widerspruchsfrei (frei von Widersprüchen), vollständig (in der Lage, jede Aussage zu beweisen oder zu widerlegen) und entscheidbar ist (im Besitz von Verfahren, um die Wahrheit zu bestimmen).

Das Programm sollte die Mathematik gegen jene Skeptiker verteidigen, die bezweifelten, ob man unendlichen Mengen und abstraktem Schließen trauen dürfe. Indem er die Widerspruchsfreiheit allein mit endlichen, konstruktiven Mitteln bewiese, hoffte Hilbert alle Zweifel an den Grundlagen zum Verstummen zu bringen.

Gödels Unvollständigkeit

1931 bewies Kurt Gödel, dass Hilberts Programm in seiner ursprünglichen Form nicht gelingen konnte. Seine Unvollständigkeitssätze zeigten, dass jedes widerspruchsfreie System, das mächtig genug ist, um die Arithmetik zu beschreiben, wahre Aussagen enthält, die es nicht beweisen kann. Überdies können solche Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln beweisen.

Gödels Ergebnisse waren für Hilberts konkrete Ziele verheerend, nicht aber für die Mathematik selbst. Die Mathematik blühte weiter, und Hilberts axiomatischer Ansatz blieb zentral. Die von Gödel entdeckten Grenzen waren real, verhinderten aber keineswegs den mathematischen Fortschritt.

Hilbert in Göttingen

Unter Hilberts Leitung wurde Göttingen zur Welthauptstadt der Mathematik. Die klügsten Mathematiker und Physiker versammelten sich dort, darunter Emmy Noether, Hermann Weyl, John von Neumann und viele weitere, die die Wissenschaft des 20. Jahrhunderts prägen sollten.

Hilbert förderte eine Atmosphäre der Zusammenarbeit, in der Ideen frei über die Grenzen der Fächer hinweg zirkulierten. Er leistete Beiträge zur mathematischen Physik und arbeitete zeitgleich mit Einstein an der allgemeinen Relativitätstheorie. Seine Arbeiten über Integralgleichungen legten die Grundlagen für die Funktionalanalysis und die Quantenmechanik.

Fürsprecher Emmy Noethers

Hilbert kämpfte darum, Emmy Noether, einer der größten Mathematikerinnen des Jahrhunderts, eine akademische Stelle zu sichern. Als Fakultätsmitglieder gegen eine Dozentin Einspruch erhoben, entgegnete Hilbert bekanntermaßen: „Ich sehe nicht ein, dass das Geschlecht der Kandidatin ein Argument gegen ihre Zulassung als Privatdozentin ist. Wir sind schließlich eine Universität und keine Badeanstalt.“

Noether erhielt schließlich eine inoffizielle Stellung und schuf in Göttingen ihr bedeutendstes Werk. Ihre abstrakte Algebra revolutionierte das Fachgebiet, und ihr Satz, der Symmetrien mit Erhaltungssätzen verknüpft, wurde zu einem Grundpfeiler der Physik. Hilbert erkannte Genie ungeachtet des Geschlechts, was für seine Zeit ungewöhnlich war.

Vermächtnis und Einfluss

Hilbert starb 1943, nachdem er die Zerstörung der mathematischen Gemeinschaft Göttingens durch die Nationalsozialisten miterlebt hatte. Jüdische Mathematiker, darunter Noether, wurden vertrieben; das Zentrum, das Hilbert aufgebaut hatte, wurde zerschlagen. Auf die Frage, ob die Mathematik in Göttingen gelitten habe, soll Hilbert geantwortet haben: „Gelitten? Die gibt es doch gar nicht mehr.“

Sein geistiges Erbe gedieh jedoch andernorts weiter. Die von ihm verfochtene axiomatische Methode wurde in der gesamten Mathematik zum Standard. Seine Probleme wiesen der Forschung weiterhin den Weg. Seine Schüler und geistigen Nachfahren prägten die Mathematik über Generationen hinweg.

Das axiomatische Erbe

Heute beginnt jedes mathematische Gebiet mit Axiomen. Die lineare Algebra, die abstrakte Algebra, die Topologie und die Analysis werden allesamt axiomatisch dargestellt. Die Informatik nutzt eine formale Logik, die unmittelbar von Hilberts Grundlagenarbeit abstammt. Selbst die angewandte Mathematik stützt sich auf axiomatisch definierte Strukturen.

Dieser Ansatz hat sowohl Stärken als auch Grenzen. Die axiomatische Darstellung klärt die Annahmen und ermöglicht strenge Beweise. Doch sie kann die Anschauung verdunkeln und die Mathematik abstrakter erscheinen lassen, als sie sein müsste. Die beste mathematische Darstellung hält formale Präzision und anschauliches Verständnis in der Waage.

Vergangenheit und Gegenwart verbinden

Hilberts Verhältnis zu Euklid spiegelt die umfassendere Entwicklung der Mathematik wider. Euklids Elemente begründeten die deduktive Methode, der die Mathematik bis heute folgt; Hilbert verfeinerte diese Methode für die Anforderungen der Moderne. Beide zu verstehen hilft zu erkennen, dass sich die Mathematik durch stetige Verbesserung entwickelt und nicht durch umstürzende Ersetzung.

Die mathematische Tradition vom antiken Griechenland über das 19. Jahrhundert bis heute zeigt eine bemerkenswerte Kontinuität. Die grundlegenden Prinzipien der ebenen Geometrie, die Euklid formulierte, bleiben gültig, nun verstanden im strengeren Rahmen Hilberts.

Wer sich für die Grundlagen der Mathematik interessiert, entdeckt in Hilberts umfassenderem Schaffen Verbindungen, die reine Mathematik, Physik und Logik umspannen.

David Hilbert verwandelte die Mathematik durch sein Beharren auf strengen axiomatischen Grundlagen. Seine Arbeit zur Geometrie setzte neue Maßstäbe für mathematische Präzision. Seine 23 Probleme leiteten die Forschung ein Jahrhundert lang. Sein Programm, die Grundlagen der Mathematik zu sichern, war zwar letztlich durch Gödels Sätze begrenzt, klärte aber das Wesen der mathematischen Wahrheit.

Als Schöpfer von Mathematik und zugleich Anführer der Mathematiker zeigt Hilbert beispielhaft, wie die Vision eines Einzelnen ganze Fachgebiete prägen kann. Sein Göttingen wurde zum Vorbild für mathematische Gemeinschaften weltweit. Sein axiomatischer Ansatz wurde zur Sprache, in der die moderne Mathematik geschrieben ist.

Entdecken Sie die geometrischen Grundlagen, die sowohl Euklid als auch Hilbert verfeinerten, in Euclid’s Elements: Completing Oliver Byrne’s Work, das die klassische Geometrie mit visueller Klarheit darstellt, und lernen Sie die Wissenschaftler kennen, die die Geschichte der Mathematik prägten, in Portraying Science.