Leonhard Euler : le mathématicien le plus prolifique de l’histoire

Imaginez un mathématicien si prolifique que ses œuvres complètes remplissent plus de 70 volumes. Un esprit si brillant qu’il a continué à produire des recherches révolutionnaires après être devenu totalement aveugle. Un génie dont la notation et les méthodes dominent encore les manuels de mathématiques 250 ans après sa mort. C’était Leonhard Euler, le mathématicien suisse qui rédigea environ 866 articles et ouvrages au cours de sa vie, apportant des contributions à pratiquement toutes les branches des mathématiques et de la physique connues au XVIIIe siècle. Sa productivité était si extraordinaire que des publications continuèrent de paraître sous son nom pendant des décennies après sa mort, le temps que les éditeurs viennent à bout de l’immense stock de manuscrits qu’il avait laissé derrière lui.

Le prodige suisse qui conquit les mathématiques

Leonhard Euler naquit en 1707 à Bâle, en Suisse, dans une famille aux connexions mathématiques. Son père, pasteur protestant, avait étudié les mathématiques auprès de Jakob Bernoulli, l’un des membres de la célèbre famille de mathématiciens. Paul Euler reconnut très tôt le talent mathématique de son fils et veilla à ce qu’il reçoive une excellente éducation, notamment des cours particuliers avec Johann Bernoulli, frère de Jakob et autre géant des mathématiques.

À 13 ans, Euler entra à l’Université de Bâle. À 16 ans, il obtint sa maîtrise. Son père espérait le voir suivre ses pas dans le ministère pastoral, mais Johann Bernoulli convainquit Paul que la véritable vocation de Leonhard était les mathématiques. Le choix s’avéra judicieux. Dès l’âge de 19 ans, Euler remportait déjà des prix de l’Académie des sciences de Paris pour ses travaux sur le placement optimal des mâts de navire.

En 1727, à 20 ans, Euler accepta un poste à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, en Russie, invité par Daniel Bernoulli (encore un Bernoulli mathématicien). Ainsi débuta une carrière remarquablement productive qui allait s’étendre sur plus de 50 ans et révolutionner les mathématiques. Euler travailla à Saint-Pétersbourg pendant la majeure partie de sa vie, avec un intermède de 25 ans à l’Académie de Berlin. Il revint en Russie en 1766 et y resta jusqu’à sa mort en 1783.

Une productivité inégalée : 866 publications et plus encore

Le volume de l’œuvre d’Euler dépasse l’entendement. De son vivant, il publia environ 560 livres et articles. Après sa mort, les éditeurs continuèrent de publier ses manuscrits pendant 50 ans supplémentaires, portant le total à quelque 866 publications. Les spécialistes modernes estiment qu’une édition complète des œuvres et de la correspondance d’Euler remplirait entre 70 et 80 gros volumes.

Pour donner une idée de l’ampleur : Euler produisait en moyenne un article mathématique toutes les deux semaines, et ce pendant toute sa vie adulte. Cette productivité devient encore plus impressionnante quand on sait qu’il écrivait en parallèle des ouvrages majeurs, dont des manuels influents qui façonnèrent l’enseignement des mathématiques pendant des générations.

Comment y parvenait-il ? Euler possédait une mémoire extraordinaire : il pouvait réciter de mémoire l’intégralité de l’Énéide de Virgile. Il effectuait de tête des calculs complexes que d’autres devaient poser sur le papier. Il travaillait de manière systématique et efficace, dictant souvent ses résultats à des assistants plutôt que de les rédiger lui-même. Il avait aussi un don étonnant pour percevoir les liens entre différents domaines mathématiques, ce qui lui permettait de transférer des intuitions d’un champ à un autre.

Le plus remarquable : une maladie en 1735 rendit Euler aveugle de l’œil droit. En 1766, il perdit aussi la vue de l’œil gauche et devint complètement aveugle. Pourtant, cela ne ralentit pas sa productivité. Au contraire, son rythme de publication augmenta. Grâce à sa mémoire phénoménale et à ses capacités de calcul, il continua de travailler en dictant à ses assistants. Certains de ses travaux les plus importants sur la théorie lunaire, l’optique et l’algèbre furent achevés après qu’il eut perdu la vue.

La révolution de la notation mathématique

Ouvrez n’importe quel manuel de mathématiques moderne et vous trouverez la notation d’Euler sur presque chaque page. Il introduisit ou popularisa un grand nombre de symboles mathématiques que nous tenons aujourd’hui pour acquis :

• f(x) pour les fonctions, établissant la notation fonctionnelle moderne
• e pour la base du logarithme naturel (environ 2,71828)
• i pour l’unité imaginaire (la racine carrée de -1)
• π (pi) pour le rapport de la circonférence au diamètre (il ne l’inventa pas, mais le popularisa)
• Σ (sigma) pour la notation de sommation
• Δ (delta) pour les différences finies
• Les notations sin, cos, tan pour les fonctions trigonométriques

Avant Euler, la notation mathématique était incohérente et lourde. Différents mathématiciens utilisaient différents symboles, ce qui rendait la communication des idées laborieuse. La notation d’Euler se révéla si intuitive et pratique qu’elle devint la norme, offrant aux mathématiciens du monde entier un langage commun.

Au-delà de la notation, Euler établit des conventions qui structurèrent des disciplines entières. Ses manuels d’algèbre, d’analyse et de mécanique définirent la manière dont ces matières seraient enseignées. Les étudiants apprirent les mathématiques « à la manière d’Euler » parce que ses exposés étaient si clairs et si systématiques que les auteurs suivants se contentèrent de reprendre son approche.

L’identité d’Euler : la plus belle équation

Parmi les nombreuses contributions d’Euler, un résultat se distingue par son élégance et sa profondeur : l’identité d’Euler. Cette équation relie les cinq constantes les plus importantes des mathématiques :

e^(iπ) + 1 = 0

Cette expression simple unit la fonction exponentielle (e), les nombres imaginaires (i), la constante du cercle (π), l’élément neutre de la multiplication (1) et l’élément neutre de l’addition (0). Les mathématiciens la qualifient souvent de plus belle équation des mathématiques, car elle unifie des concepts issus de domaines différents en une seule relation compacte et inattendue.

L’identité d’Euler est un cas particulier de la formule d’Euler : e^(ix) = cos(x) + i·sin(x), qui relie les fonctions exponentielles à la trigonométrie par l’intermédiaire des nombres complexes. Cette formule est devenue fondamentale en électrotechnique, en mécanique quantique, en traitement du signal et dans d’innombrables autres applications. Chaque fois que nous utilisons un smartphone, écoutons de la musique en streaming ou prenons une photo numérique, nous bénéficions de mathématiques qui découlent de la formule d’Euler.

Des contributions dans toutes les mathématiques et la physique

Les travaux d’Euler couvraient presque tous les domaines mathématiques connus à son époque, et il en fonda plusieurs nouveaux :

• Théorie des graphes : le célèbre problème des sept ponts de Königsberg conduisit Euler à créer la théorie des graphes, aujourd’hui indispensable en informatique, en analyse de réseaux et en optimisation.
• Topologie : la formule d’Euler V + F = E + 2 (reliant sommets, arêtes et faces des polyèdres) fut l’un des premiers résultats topologiques, annonçant ce domaine révolutionnaire.
• Calcul des variations : Euler développa ce champ de manière systématique, créant les outils nécessaires pour déterminer les courbes et surfaces optimales.
• Théorie des nombres : il prouva de nombreux théorèmes sur les nombres premiers, les nombres parfaits et les partitions, même si sa rigueur n’atteignait pas toujours les standards modernes.
• Équations différentielles : Euler mit au point des méthodes de résolution des équations différentielles qui restent fondamentales aujourd’hui.
• Mécanique : sa formulation de la mécanique classique rivalisait avec celle de Newton et se révéla mieux adaptée à certains problèmes.
• Mécanique des fluides : les équations d’Euler décrivant l’écoulement d’un fluide idéal demeurent centrales en aérodynamique et en météorologie.
• Optique : il contribua à la théorie ondulatoire de la lumière, bien que ses idées aient été initialement éclipsées par la théorie corpusculaire de Newton.

Dans chacun de ces domaines, Euler ne se contenta pas d’apporter des résultats isolés. Il fournit des traitements systématiques qui organisèrent le champ, résolurent des problèmes ouverts et tracèrent la voie à suivre. Ses manuels devinrent les ouvrages de référence pour des générations de mathématiciens.

Le problème de Bâle et la fonction zêta

L’une des réalisations les plus célèbres d’Euler fut la résolution du problème de Bâle, qui avait résisté aux mathématiciens pendant des décennies. La question était : quelle est la valeur exacte de la somme infinie 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … (la somme des inverses des carrés parfaits) ?

Euler prouva que cette somme vaut exactement π²/6, un lien stupéfiant entre les entiers et la constante du cercle π. Sa solution ne répondit pas seulement au problème de Bâle : elle introduisit aussi la fonction zêta de Riemann (bien que Riemann ne la généralisât qu’au siècle suivant), l’une des fonctions les plus importantes des mathématiques modernes.

La fonction zêta est liée à la distribution des nombres premiers, un lien qui se trouve au cœur de l’un des plus grands problèmes non résolus des mathématiques : l’hypothèse de Riemann. Les travaux d’Euler sur cette fonction posèrent des fondations sur lesquelles les mathématiciens continuent de bâtir aujourd’hui.

L’impact d’Euler sur l’enseignement des mathématiques

Au-delà de la recherche, Euler transforma l’enseignement des mathématiques à travers ses manuels. Son « Introduction à l’analyse des infiniment petits » (1748), son « Calcul différentiel » (1755) et son « Calcul intégral » (1768-1770) firent de l’analyse une discipline systématique dotée de définitions claires, d’un développement logique et de nombreux exemples.

Les manuels d’Euler restèrent influents pendant plus d’un siècle. Même lorsque des mathématiciens ultérieurs comme Cauchy et Weierstrass donnèrent à l’analyse des fondements plus rigoureux, ils conservèrent la structure et l’approche fondamentales d’Euler. Les cours d’analyse modernes suivent encore des plans qui remontent à ses manuels.

Euler écrivait avec une clarté remarquable, expliquant les concepts difficiles par des exemples éclairants plutôt que par des généralités abstraites. Ses livres étaient pratiques et accessibles, destinés non seulement aux mathématiciens professionnels, mais aussi aux ingénieurs, aux scientifiques et aux lecteurs cultivés. Cet engagement envers une exposition limpide rendit les mathématiques accessibles à un public plus large et forma des générations de scientifiques et d’ingénieurs.

Une vie de travail acharné et de plaisirs simples

Malgré la nature cérébrale de son travail, Leonhard Euler menait une vie ancrée dans le quotidien, centrée sur sa famille. Il se maria deux fois et eut 13 enfants (dont seulement cinq atteignirent l’âge adulte, ce qui n’avait rien d’inhabituel au XVIIIe siècle). Il aimait la musique et jouait du clavecin dans ses moments de loisir. Profondément croyant tout au long de sa vie, il ne voyait aucune contradiction entre les mathématiques et la foi.

Le quotidien d’Euler était d’une discipline remarquable. Il se levait tôt et travaillait toute la matinée. Après le déjeuner, il se remettait aux mathématiques, souvent entouré de ses nombreux enfants qui jouaient autour de lui. Il affirmait que leur vacarme ne le dérangeait nullement, tant sa concentration était intense. Même pendant les repas, il travaillait fréquemment sur des problèmes mathématiques, élaborant des démonstrations tout en mangeant.

Ses contemporains le décrivaient comme jovial, généreux et distrait, à la manière de quelqu’un dont l’esprit est toujours en partie ailleurs. Il pouvait calculer une série mathématique tout en conversant en société, puis reprendre la conversation sans perdre le fil une fois le calcul terminé.

Le 18 septembre 1783, à l’âge de 76 ans, Euler passa la journée comme à son habitude : il calcula l’orbite de la planète Uranus, récemment découverte, discuta de mathématiques avec des collègues et joua avec ses petits-enfants. Ce soir-là, alors qu’il buvait du thé et jouait avec son petit-fils, il fut frappé d’une hémorragie cérébrale. Ses derniers mots auraient été « Je meurs », et il s’éteignit en quelques heures. Sa mort elle-même fut brève et sans détour, tout comme ses mathématiques.

Pourquoi Euler compte encore aujourd’hui

Plus de deux siècles après sa mort, l’influence d’Euler imprègne la science et la technologie modernes :

• Ingénierie : les équations d’Euler pour l’écoulement des fluides, ses formules pour le flambage des colonnes et ses méthodes d’optimisation restent fondamentales en génie mécanique, civil et aérospatial.
• Physique : sa formulation de la mécanique, ses travaux sur la rotation des corps rigides et ses contributions à l’optique sous-tendent la physique classique.
• Informatique : la théorie des graphes, fondée par Euler, est essentielle pour les algorithmes, le routage réseau et la conception de bases de données.
• Électrotechnique : la formule d’Euler avec les exponentielles complexes est le langage de l’analyse des circuits à courant alternatif et du traitement du signal.
• Les mathématiques elles-mêmes : d’innombrables théorèmes, fonctions et méthodes portent le nom d’Euler, de la constante d’Euler-Mascheroni à la méthode d’Euler pour la résolution des équations différentielles.

La notation qu’il introduisit reste la norme. Chaque étudiant qui apprend l’analyse écrit dy/dx, f(x) et e^x en utilisant les conventions d’Euler. Le langage mathématique que nous parlons aujourd’hui est en grande partie celui qu’Euler a forgé.

Célébrer l’héritage mathématique

Pour ceux qui s’intéressent à la vie et aux contributions de géants des mathématiques comme Euler, Portraying Science (édition anglaise) offre un magnifique voyage visuel à travers l’histoire des sciences. Cette collection de plus de 400 pages présente les portraits de scientifiques éminents du XVIe au XIXe siècle, dont Leonhard Euler aux côtés de Newton, Gauss et d’autres sommités mathématiques.

L’ouvrage présente ces figures de manière chronologique, montrant l’évolution de la pensée scientifique à travers les visages de ceux qui l’ont façonnée. Voir le portrait d’Euler aux côtés de ses contemporains permet de mieux comprendre la communauté intellectuelle qui s’épanouit durant le Siècle des Lumières.

Pour ceux qui apprécient l’héritage mathématique au quotidien, les Portraying Science Tote Bags mettent en avant Euler parmi d’autres pionniers scientifiques et permettent d’emporter un morceau d’histoire des mathématiques avec soi.

Comprendre les contributions d’Euler suppose d’apprécier les fondations mathématiques sur lesquelles il bâtit. Les Éléments d’Euclide (édition Kronecker Wallis) présentent le raisonnement géométrique qui constitua le socle des mathématiques pendant deux millénaires. Euler maîtrisa cette tradition classique tout en la transcendant, créant de nouveaux champs mathématiques qui allaient bien au-delà de ce qu’Euclide avait imaginé.

L’étalon de l’excellence mathématique

Leonhard Euler établit un standard de productivité et d’envergure mathématiques qui n’a jamais été égalé. Ses 866 publications couvraient pratiquement tous les sujets mathématiques de son époque. Il résolut des problèmes ouverts qui avaient résisté à ses prédécesseurs. Il fonda de nouvelles disciplines. Il créa une notation devenue universelle. Il rédigea des manuels qui façonnèrent l’enseignement pendant plus d’un siècle.

Le plus remarquable est qu’il fit tout cela en préservant la clarté et l’accessibilité. Euler n’était pas seulement brillant : il était compréhensible. Son œuvre pouvait être lue, étudiée et prolongée. Cette alliance de profondeur et de clarté fit de lui non seulement un grand chercheur, mais aussi un grand pédagogue pour tous ceux qui vinrent après lui.

L’Académie suisse des sciences calcula un jour que la publication de l’ensemble des œuvres, de la correspondance et des carnets d’Euler nécessiterait une publication continue pendant plusieurs décennies. Ce projet, lancé en 1911, se poursuit encore aujourd’hui. Plus d’un siècle après ses débuts, nous découvrons encore toute l’étendue du génie d’Euler.

En mathématiques, « prolifique » et « Euler » sont presque synonymes. Personne avant ni après lui n’a tant contribué à autant de domaines. Chaque mathématicien se tient sur les épaules d’Euler, utilise sa notation, suit ses méthodes et construit sur ses fondations. Il reste, tout simplement, le mathématicien le plus productif de l’histoire.