Bernhard Riemann: die nichteuklidische Geometrie, die die Relativitätstheorie möglich machte

1854 hielt ein junger deutscher Mathematiker namens Bernhard Riemann einen Vortrag, der die Mathematik umwälzen und Jahrzehnte später Einsteins Relativitätstheorie ermöglichen sollte. Der Vortrag „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ führte die nichteuklidische Geometrie in ihrer allgemeinsten Form ein und dehnte die Geometrie über jene flachen Räume hinaus aus, die Euklid zweitausend Jahre zuvor beschrieben hatte (englische Ausgabe).

Riemanns Einsicht war tiefgreifend: Geometrie muss nicht flach sein. Räume können sich auf vielfältige Weise krümmen, und verschiedene Geometrien können nebeneinander bestehen, je nach den inneren Eigenschaften des Raumes. Dieser Rahmen, die riemannsche Geometrie, lieferte genau die Sprache, die Einstein brauchte, um die Schwerkraft als Krümmung der Raumzeit selbst zu beschreiben.

Vorgeschichte: jenseits des fünften Postulats

Über zwei Jahrtausende bestimmten Euklids Elemente die Geometrie. Euklid gründete sein System auf fünf Postulate, also Grundsätze, die als selbstverständlich wahr galten. Die ersten vier waren einfach und einleuchtend, das fünfte, das Parallelenpostulat, war komplizierter:

Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden so, dass die Innenwinkel auf einer Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann treffen sich die beiden Geraden auf dieser Seite.

Diese umständliche Aussage ist gleichwertig damit, dass es durch jeden Punkt außerhalb einer Geraden genau eine Parallele gibt. Jahrhundertelang versuchten Mathematiker, sie aus den anderen vier abzuleiten, weil sie vermuteten, sie sei nicht wirklich unabhängig.

Die frühen Pioniere

Im frühen 19. Jahrhundert machten mehrere Mathematiker eine radikale Entdeckung: Man kann widerspruchsfreie Geometrien bauen, indem man das Parallelenpostulat leugnet. Der Ungar János Bolyai und der Russe Nikolai Lobatschewski entwickelten unabhängig voneinander die hyperbolische Geometrie, in der es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden mehrere Parallelen gibt.

Diese Geometrien wirkten seltsam und waren mathematisch stimmig. Sie beschreiben Räume mit konstanter negativer Krümmung, ähnlich einer Sattelfläche. Es waren allerdings Spezialfälle. Riemann verallgemeinerte den Gedanken weit darüber hinaus.

Bernhard Riemann: ein kurzes, glänzendes Leben

Georg Friedrich Bernhard Riemann wurde 1826 im Königreich Hannover geboren. Als Sohn eines armen lutherischen Pfarrers zeigte er schon als Kind außergewöhnliche mathematische Begabung. Er studierte in Göttingen bei Carl Friedrich Gauß, einem der größten Mathematiker der Geschichte.

Seine Laufbahn war tragisch kurz, er starb mit 39 Jahren an Tuberkulose. In dieser knappen Zeit lieferte er grundlegende Beiträge zur Analysis, zur Zahlentheorie, zur Topologie und zur Geometrie. Seine Arbeit über Primzahlen, die riemannsche Vermutung, ist bis heute eines der größten ungelösten Probleme der Mathematik.

Der Habilitationsvortrag von 1854

Um als Universitätsdozent zugelassen zu werden, musste Riemann einen Habilitationsvortrag halten. Gauß durfte als Prüfer aus drei vorgeschlagenen Themen wählen. Unerwartet wählte er das dritte, die Grundlagen der Geometrie, also genau das Gebiet, über das Riemann am wenigsten nachgedacht hatte.

Diese glückliche Wahl führte zu einem der wichtigsten Vorträge der Mathematikgeschichte. Riemann arbeitete intensiv an seinen Ideen, und die entstandene Darstellung führte Begriffe ein, die die Geometrie und später die Physik verwandeln sollten.

Die zentralen Begriffe der riemannschen Geometrie

Mannigfaltigkeiten und gekrümmte Räume

Riemann führte den Begriff der Mannigfaltigkeit ein, eines Raumes, der örtlich wie ein flacher euklidischer Raum aussieht, im Großen aber beliebig gekrümmt sein kann. Man denke an die Erdoberfläche: örtlich erscheint sie flach, weshalb frühere Kulturen sie für eine Ebene hielten. Im Ganzen krümmt sie sich zu einer Kugel.

Diesen Gedanken verallgemeinerte Riemann auf beliebig viele Dimensionen und jede Art von Krümmung. Eine Mannigfaltigkeit kann sich in verschiedenen Richtungen und Gegenden unterschiedlich krümmen, und die Krümmung kann von Punkt zu Punkt wechseln.

Der metrische Tensor

Wie misst man Abstände in gekrümmten Räumen? Riemanns Lösung war der metrische Tensor, ein mathematisches Objekt, das in jedem Punkt festlegt, wie Längen und Winkel zu messen sind. Der metrische Tensor enthält die gesamte geometrische Information über die Krümmung des Raumes.

Im flachen euklidischen Raum ist die Metrik einfach und liefert den vertrauten Satz des Pythagoras für den Abstand. In gekrümmten Räumen wird sie komplizierter und ändert sich von Punkt zu Punkt, doch der mathematische Rahmen bleibt derselbe.

Innere und äußere Krümmung

Riemann betonte die innere Geometrie, also Eigenschaften, die sich vollständig innerhalb eines Raumes messen lassen, ohne Bezug auf eine Einbettung in höhere Dimensionen. Ein zweidimensionales Wesen auf einer Kugeloberfläche könnte deren Krümmung durch Messungen innerhalb der Fläche bestimmen, ganz ohne Kenntnis eines dreidimensionalen Umraums.

Dieser Gedanke wurde für die Relativitätstheorie entscheidend: Die Raumzeit krümmt sich innerlich, nicht in einem höherdimensionalen Raum. Die Krümmung ist eine Eigenschaft der Raumzeit selbst.

Der riemannsche Krümmungstensor

Riemann entwickelte Werkzeuge, um Krümmung genau zu beschreiben. Der Krümmungstensor gibt an, wie stark ein Raum in jedem Punkt und in jeder Richtung gekrümmt ist. Dieser Tensor wurde zum Kernstück der Verbindung von Geometrie und physikalischen Kräften.

Von der abstrakten Mathematik zur physikalischen Wirklichkeit

Jahrzehntelang blieb die riemannsche Geometrie reine Mathematik, schön, aber scheinbar ohne Bezug zur Wirklichkeit. Mathematiker studierten sie um ihrer Eleganz willen, ohne Anwendungen zu erwarten.

Einsteins geometrische Erleuchtung

1915 rang Albert Einstein mit der Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie. Er brauchte eine Sprache, um zu beschreiben, wie Materie und Energie die Raumzeit krümmen und damit das erzeugen, was wir als Schwerkraft erleben. Sein Freund, der Mathematiker Marcel Grossmann, machte ihn mit Riemanns Arbeiten bekannt.

Einstein erkannte, dass die riemannsche Geometrie genau das lieferte, was er brauchte. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit eine vierdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit. Masse und Energie krümmen sie, und Körper folgen darin „geraden“ Bahnen, den Geodäten, was wir als Anziehung wahrnehmen.

Ein abstrakter Rahmen, sechzig Jahre zuvor ohne jeden Gedanken an Physik entworfen, beschrieb die Wirklichkeit auf ihrer grundlegendsten Ebene.

Die einsteinschen Feldgleichungen

Die Feldgleichungen, die beschreiben, wie Materie die Raumzeit krümmt, sind mit dem riemannschen Krümmungstensor formuliert. Sie besagen, dass die Krümmung der Raumzeit auf der einen Seite der Verteilung von Materie und Energie auf der anderen entspricht, und stellen damit eine tiefe Verbindung zwischen Geometrie und Physik her.

Ohne Riemanns Vorarbeit hätte Einstein die allgemeine Relativitätstheorie mathematisch nicht ausdrücken können. Die riemannsche Geometrie verwandelte die Physik: Statt Kräfte in einem festen Raum zu untersuchen, wurde der Raum selbst zu einem beweglichen, gekrümmten Gegenstand.

Anwendungen über die Relativitätstheorie hinaus

Riemannsche Geometrie taucht heute in Wissenschaft und Technik überall auf:

• Kosmologie: Beschreibung der großräumigen Struktur und Entwicklung des Universums
• Satellitennavigation: Berücksichtigung der Raumzeitkrümmung in der Positionsbestimmung
• Maschinelles Lernen: Analyse von Daten in gekrümmten, hochdimensionalen Räumen
• Computergrafik: Darstellung gekrümmter Flächen und Modellierung von Verformungen
• Stringtheorie: Beschreibung zusätzlicher Dimensionen und der Quantengravitation
• Medizinische Bildgebung: Verarbeitung von Daten aus der Magnetresonanztomografie und verwandten Verfahren

Der Aufstieg der Differentialgeometrie

Riemanns Arbeit begründete die Differentialgeometrie als eigenes großes Gebiet. Spätere Mathematiker bauten seine Ideen aus und entwickelten Werkzeuge, die heute in Mathematik und Physik unentbehrlich sind. Begriffe wie Faserbündel, Zusammenhänge und Eichtheorien stammen sämtlich aus dieser Linie.

Riemanns weiteres Erbe

Neben der Geometrie leistete Riemann Grundlegendes in weiteren Feldern:

• Funktionentheorie: Die riemannschen Flächen veränderten das Verständnis komplexer Funktionen
• Zahlentheorie: Die riemannsche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen
• Topologie: Begriffe von Zusammenhang und Stetigkeit
• Mathematische Physik: Arbeiten zu partiellen Differentialgleichungen und zur Wärmelehre

Sein Zugang zielte darauf, die zugrundeliegenden Strukturen zu verstehen, statt nur einzelne Probleme zu lösen, eine Haltung, die die gesamte spätere Mathematik prägte.

Eine mathematische Linie

Riemanns Arbeit ist der Höhepunkt eines Weges, der bei Euklids Elementen beginnt und zu Einsteins Relativitätstheorie führt. Wer diesen Weg von der griechischen Geometrie über die mathematischen Neuerungen des 19. Jahrhunderts bis zur modernen Physik verfolgt, sieht, wie mathematische Abstraktionen die physische Wirklichkeit erhellen können.

Abstraktes Denken wird wirklich

Bernhard Riemanns nichteuklidische Geometrie zeigt, wie stark die Mathematik Wirklichkeit jenseits der Alltagserfahrung beschreiben kann. Rein abstrakt arbeitend, getrieben von mathematischer Neugier und nicht von Anwendungen, entwickelte er einen Rahmen, der sich später als unentbehrlich erwies, um Gravitation, Kosmologie und die Natur der Raumzeit zu verstehen.

Seine Einsicht, dass Krümmung eine innere Eigenschaft sein kann, unabhängig von jedem Umraum, befreite die Mathematik vom euklidischen Denken und lieferte die Sprache, mit der Einstein die Physik umwälzte. Metrischer Tensor, Krümmungstensor und Mannigfaltigkeit gehören bis heute zum Kern der theoretischen Physik.

Riemann starb mit 39 und erfuhr nie, dass seine Geometrie die physische Wirklichkeit erklären würde. Seine kurze Laufbahn verwandelte die Mathematik und ermöglichte die größten physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts. Sein Werk zeigt, wie tiefes mathematisches Denken Wahrheiten über das Universum freilegen kann, die Beobachtung allein womöglich nie erreicht hätte.