En 1854, un jeune mathématicien allemand nommé Bernhard Riemann prononce une conférence qui va bouleverser les mathématiques et, des décennies plus tard, rendre possible la relativité d’Einstein. Cette leçon, « Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie », introduit la géométrie non euclidienne dans sa forme la plus générale et étend la géométrie au-delà des espaces plats décrits par Euclide deux mille ans plus tôt (édition anglaise).
L’idée de Riemann est profonde: la géométrie n’a pas à être plate. Les espaces peuvent se courber de multiples façons, et différentes géométries peuvent coexister selon les propriétés intrinsèques de l’espace. Ce cadre, la géométrie riemannienne, a fourni exactement le langage dont Einstein avait besoin pour décrire la gravitation comme la courbure de l’espace-temps lui-même.
Le contexte: au-delà du cinquième postulat
Pendant plus de deux millénaires, les Éléments d’Euclide ont défini la géométrie. Euclide bâtit son système sur cinq postulats, axiomes tenus pour évidents. Les quatre premiers sont simples, le cinquième, dit postulat des parallèles, est plus lourd:
Si une droite en coupe deux autres de telle sorte que les angles intérieurs d’un même côté soient inférieurs à deux droits, alors les deux droites se rencontrent de ce côté.
Cet énoncé équivaut à dire que par un point extérieur à une droite passe exactement une parallèle. Pendant des siècles, les mathématiciens ont tenté de le démontrer à partir des quatre autres, soupçonnant qu’il n’était pas vraiment indépendant.
Les premiers pionniers
Au début du XIXe siècle, plusieurs mathématiciens font une découverte radicale: on peut construire des géométries cohérentes en niant le postulat des parallèles. Le Hongrois János Bolyai et le Russe Nikolaï Lobatchevski développent indépendamment la géométrie hyperbolique, où plusieurs parallèles passent par un point extérieur à une droite.
Ces géométries paraissaient étranges et se révélaient mathématiquement cohérentes. Elles décrivent des espaces à courbure négative constante, comme une selle de cheval. Il s’agissait toutefois de cas particuliers. Riemann allait généraliser bien au-delà.
Bernhard Riemann: une vie brève et brillante
Georg Friedrich Bernhard Riemann naît en 1826 dans le royaume de Hanovre. Fils d’un pasteur luthérien pauvre, il montre très tôt un talent mathématique exceptionnel. Il étudie à Göttingen auprès de Carl Friedrich Gauss, l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire.
Sa carrière fut tragiquement courte: il meurt de la tuberculose à 39 ans. En si peu de temps, il apporte des contributions fondamentales à l’analyse, à la théorie des nombres, à la topologie et à la géométrie. Son travail sur les nombres premiers, l’hypothèse de Riemann, reste l’un des grands problèmes ouverts des mathématiques.
La conférence d’habilitation de 1854
Pour devenir enseignant à l’université, Riemann devait donner une leçon d’habilitation. Gauss, examinateur, pouvait choisir parmi trois sujets proposés. Contre toute attente, il choisit le troisième, les fondements de la géométrie, c’est-à-dire le domaine auquel Riemann avait le moins réfléchi.
Ce choix heureux a produit l’une des conférences les plus importantes de l’histoire des mathématiques. Riemann travailla intensément, et l’exposé qui en sortit introduisit des notions qui allaient transformer la géométrie puis la physique.
Les notions clés de la géométrie riemannienne
Variétés et espaces courbes
Riemann introduit la notion de variété, un espace qui ressemble localement à l’espace euclidien plat mais peut présenter globalement une courbure complexe. Pensez à la surface de la Terre: localement elle paraît plate, ce qui explique que des peuples anciens l’aient crue plane. Globalement, elle se courbe en sphère.
Riemann généralise l’idée à un nombre quelconque de dimensions et à toute forme de courbure. Une variété peut se courber différemment selon les directions et les régions, la courbure variant d’un point à l’autre.
Le tenseur métrique
Comment mesurer les distances dans un espace courbe? La solution de Riemann est le tenseur métrique, objet mathématique qui indique en chaque point comment mesurer longueurs et angles. Le tenseur métrique contient toute l’information géométrique sur la courbure de l’espace.
Dans l’espace euclidien plat, la métrique est simple et redonne le théorème de Pythagore pour la distance. Dans un espace courbe, elle devient plus complexe et varie d’un point à l’autre, mais le cadre mathématique reste le même.
Courbure intrinsèque et extrinsèque
Riemann met l’accent sur la géométrie intrinsèque, c’est-à-dire les propriétés mesurables entièrement à l’intérieur d’un espace, sans référence à un plongement dans un espace de dimension supérieure. Un être à deux dimensions vivant sur une sphère pourrait déterminer la courbure de celle-ci par des mesures internes, sans rien connaître de l’espace à trois dimensions qui l’entoure.
Cette idée s’est révélée cruciale pour la relativité: l’espace-temps se courbe intrinsèquement, et non à l’intérieur d’un espace plus vaste. La courbure est une propriété de l’espace-temps lui-même.
Le tenseur de courbure de Riemann
Riemann met au point des outils pour décrire la courbure avec précision. Le tenseur de courbure mesure à quel point un espace est courbé en chaque point et dans chaque direction. Ce tenseur est devenu central pour relier la géométrie aux forces physiques.
De la mathématique abstraite à la réalité physique
Pendant des décennies, la géométrie riemannienne resta une mathématique pure, belle mais apparemment sans lien avec le monde. On l’étudiait pour son élégance, sans attendre d’applications.
La révélation géométrique d’Einstein
En 1915, Albert Einstein peine à formuler sa relativité générale. Il lui faut un langage pour décrire comment la matière et l’énergie courbent l’espace-temps et produisent ce que nous éprouvons comme la gravitation. Son ami le mathématicien Marcel Grossmann lui fait découvrir les travaux de Riemann.
Einstein comprend que la géométrie riemannienne lui donne exactement ce qu’il cherche. Dans la relativité générale, l’espace-temps est une variété riemannienne à quatre dimensions. La masse et l’énergie la courbent, et les corps suivent des trajectoires « droites », les géodésiques, ce que nous percevons comme une attraction.
Un cadre abstrait, élaboré soixante ans plus tôt sans aucune visée physique, décrivait la réalité à son niveau le plus fondamental.
Les équations d’Einstein
Les équations de champ, qui décrivent comment la matière courbe l’espace-temps, s’écrivent avec le tenseur de courbure de Riemann. Elles disent que la courbure de l’espace-temps, d’un côté, égale la distribution de matière et d’énergie, de l’autre, établissant un lien profond entre géométrie et physique.
Sans le travail préalable de Riemann, Einstein n’aurait pas pu exprimer mathématiquement la relativité générale. La géométrie riemannienne a fait passer la physique de l’étude des forces dans un espace fixe à la compréhension de l’espace lui-même comme entité dynamique et courbe.
Des applications bien au-delà de la relativité
La géométrie riemannienne apparaît aujourd’hui partout dans les sciences et les techniques:
- Cosmologie: description de la structure et de l’évolution de l’univers à grande échelle
- Navigation par satellite: prise en compte de la courbure de l’espace-temps dans le calcul des positions
- Apprentissage automatique: analyse de données dans des espaces courbes de grande dimension
- Images de synthèse: rendu des surfaces courbes et modélisation des déformations
- Théorie des cordes: description des dimensions supplémentaires et de la gravité quantique
- Imagerie médicale: traitement des données d’IRM et d’autres techniques d’acquisition
L’essor de la géométrie différentielle
Le travail de Riemann a fondé la géométrie différentielle comme discipline majeure. Ses successeurs ont prolongé ses idées et forgé des outils devenus essentiels en mathématiques comme en physique. Les fibrés, les connexions et les théories de jauge descendent tous de ses intuitions géométriques.
Le reste de son héritage
Au-delà de la géométrie, Riemann a marqué plusieurs domaines:
- Analyse complexe: les surfaces de Riemann ont transformé la compréhension des fonctions complexes
- Théorie des nombres: l’hypothèse de Riemann sur la répartition des nombres premiers
- Topologie: les notions de connexité et de continuité
- Physique mathématique: travaux sur les équations aux dérivées partielles et sur la chaleur
Sa manière de faire consistait à comprendre les structures sous-jacentes plutôt qu’à résoudre des problèmes isolés, une philosophie qui a influencé toutes les mathématiques ultérieures.
Une lignée mathématique
Le travail de Riemann couronne un parcours qui commence avec les Éléments d’Euclide et mène à la théorie de la relativité d’Einstein. Suivre cette progression, de la géométrie grecque aux innovations du XIXe siècle puis à la physique moderne, montre comment des abstractions mathématiques peuvent éclairer la réalité physique.
La pensée abstraite devenue réelle
La géométrie non euclidienne de Bernhard Riemann illustre la puissance des mathématiques pour décrire des niveaux de réalité inaccessibles à l’expérience ordinaire. Travaillant de façon purement abstraite, mû par la curiosité et non par des applications, Riemann a bâti un cadre qui s’est révélé indispensable pour comprendre la gravitation, la cosmologie et la nature de l’espace-temps.
Son idée que la courbure peut être intrinsèque, indépendante de tout espace d’accueil, a libéré les mathématiques du cadre euclidien et donné à Einstein le langage dont il avait besoin. Le tenseur métrique, le tenseur de courbure et la notion de variété restent au cœur de la physique théorique.
Riemann est mort à 39 ans sans jamais savoir que sa géométrie expliquerait la réalité physique. Sa brève carrière a transformé les mathématiques et permis les plus grandes théories physiques du XXe siècle. Son œuvre montre comment une pensée mathématique profonde peut révéler sur l’univers des vérités que l’observation seule n’aurait peut-être jamais atteintes.
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